2019-2020学年一中高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

时间：2022-03-03 14:15:42 浏览量：次

2019-2020学年一中高二上学期期中数学（文）试题一、单选题 1．“”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。

解：对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．故选A。

2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（）
A．， B．， C．， D．，【答案】C 【解析】原命题为特称命题，其否定为全称命题，故排除B,D；
绝对值是正数的否定是. 【详解】命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，所以正确选项为C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，注意在写命题的否定时，存在要改成任意. 3．椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．【答案】A 【解析】求出后可求椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以，故离心率为. 故选:A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，一般地，可从椭圆的标准方程中得到基本量即长半轴长、短半轴长，再利用计算半焦距后可求椭圆的离心率. 4．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）． A． B． C． D．【答案】B 【解析】初值为，进入循环体后，；
；
；
；

此时，退出循环，故，故选B. 【考点】程序框图. 5．命题“当时，为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【解析】先考虑原命题和逆命题正确与否，再根据命题与其逆否命题同真同假可得四个命题中真命题的个数. 【详解】根据等腰三角形的判断方法可知原命题“当时，为等腰三角形”是真命题. 原命题的逆命题为：“当为等腰三角形时，”，该命题为假命题，因为当为等腰三角形时，可能成立且，故逆命题不成立，所以原命题的逆否命题是真命题，原命题的否命题是假命题. 故选:C. 【点睛】四种命题中，原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，因此四种命题中真命题的个数一定是偶数，此类问题属于基础题. 6．椭圆的焦距是（）
A．8 B．6 C．10 D．【答案】D 【解析】求出后利用公式可求，从而得到要求的焦距. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以，故焦距为. 故选:D. 【点睛】本题考查椭圆基本量的求法，一般地，可从椭圆的标准方程中得到基本量即长半轴长、短半轴长，再利用计算半焦距后可求椭圆的焦距. 7．袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为( ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】求出基本事件空间，找到符合条件的基本事件，至少摸出1个黑球包括1黑球1白球和2个黑球两种情况，可求概率. 【详解】因为袋中有3个白球和2个黑球,所以任意摸出2个球的所有情况有：白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2，白3黑1，白3黑2，白1白2，白1白3，白2白3，黑1黑2；
共10种；
至少摸出1个黑球的基本事件包含：白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2，白3黑1，白3黑2，黑1黑2；
共7种，所以所求概率为.故选A. 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，把所求事件的包含情况考虑周全是求解关键，侧重考查数学建模的核心素养. 8．双曲线上点到左焦点的距离是，则到右焦点的距离是（）
A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【解析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离. 【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，则，故，故或（舍）. 故选:C. 【点睛】本题考查双曲线的定义，注意可根据（左焦点为）的大小判断在双曲线的左支上还是在右支上，一般地，如果，则在左支上，解题中注意这个结论的应用. 9．集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是　(　　) A． B． C． D．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，从，中各任意取一个数，共有种不同的取法，其中这两数之和等于，共有两种选法，所以概率为，故选C．【考点】古典概型及其概率的计算． 10．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为(　　) A．10组 B．9组 C．8组 D．7组【答案】B 【解析】由题意知，，所以分为组较为恰当，故选B. 11．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D．【答案】B 【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算. 12．过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．【答案】A 【解析】设右焦点为F′，由，可得E是PF的中点，利用O为FF＇的中点，可得OE为△PFF＇的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【详解】解：设右焦点为F′， ∵， ∴E是PF的中点， ∴PF′＝2OE＝a， ∴PF＝3a， ∵OE⊥PF， ∴PF′⊥PF， ∴（3a）2+a2＝4c2， ∴e＝＝，故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想. 二、填空题 13．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为_____. 【答案】78 【解析】根据系统抽样的性质可以得到抽到产品的最大编号. 【详解】因为抽样方法是系统抽样，故应把80件不同的产品分成16组，每组5件产品，第一组的编号为：1,2,3,4,5；

第二组的编号为：6,7,8,9,10；

第三组的编号为：11,12,13,14,15；

第十六组的编号为：76,77,78,79,80；

根据系统抽样，每组抽取的号码可构成等差数列且公差为5，故抽取的号码分别为：
，故抽到产品的最大编号为. 故答案为：78. 【点睛】抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；

（2）系统抽样时均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；

（3）分层抽样就是按比例抽取. 14．已知命题，，命题，，则，，，中是真命题的有________．【答案】，. 【解析】先判断的真假，再根据复合命题的真假判断方法可得四个命题中的真命题. 【详解】对于命题，因为，故，故为假命题. 对于命题，取，则，故为真命题，所以为真命题，为假命题，为真命题，为假命题. 故答案为：，. 【点睛】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假必假”，的真假判断是“真假相反”． 15．椭圆的离心率为，则的值为______________ 【答案】【解析】将焦点分为在轴上两种情况，利用椭圆的离心率列方程，由此求得的值. 【详解】椭圆的离心率满足.当椭圆焦点在轴上时，，解得.当椭圆焦点在轴上时，，解得.故填. 【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查了分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 16．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为．【答案】【解析】试题分析：由，准线【考点】抛物线方程及性质三、解答题 17．已知命题且，命题恒成立，若为假命题且为真命题，求的取值范围. 【答案】或. 【解析】命题为真命题，有；
命题为真命题，则，即，为假命题，为真命题，则一真一假，真，假时，，假，真假时，，综上的取值范围是或． 18．某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示. 组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组第2组 18 第3组第4组第5组（1）分别求出的值；

（2）从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？（3）指出直方图中，这组数据的中位数是多少（取整数值）？【答案】（1），，，（2）第2组：
(人)；
第3组：
(人)；
第4组：
(人) （3）42 【解析】（1）先算出第4组的总人数，再根据频率分布直方图得到第4组的频率，从而可计算总人数，最后计算出相应组人数后利用统计结果表可得的值. （2）先算出第2、3、4组回答正确的总人数，再按比例抽取即可. （3）根据频率分布直方图可知中位数满足，从而可得的近似值. 【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知，，，，. （2）第2、3、4组回答正确的共有54人． ∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
第2组：(人)；

第3组：(人)；

第4组：
(人)．（3）设这组数据的中位数为，由频率分布直方图可得前两组的频率之和为，最后两组的频率之和为，故在第三组中，且，解得，故. 【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，注意频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，过中位数且垂直于横轴的直线平分面积，各矩形的高是. 19．某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如表所示: 零件的个数x(个) 2 3 4 5 加工的时间y(h) 2.5 3 4 4.5 可能用到的计算结果：,,. 线性回归方程中（1）求出y关于x的线性回归方程; （2）试预测加工10个零件需要多少时间？【答案】（1）；
（2）. 【解析】（1）利用公式计算出后可得回归方程. （2）利用（1）所得的公式可预测加工所需的时间. 【详解】解：（1）由表中数据得:，，. 代入公式得，所以. （2）将代入线性回归方程, 得. 所以预测加工10个零件需要. 【点睛】本题考查线性回归方程的计算，注意线性回归方程所在的直线必定过点，此类问题属于基础题. 20．已知抛物线与直线相交于A,B两点，O为坐标原点. （1）求证：; （2）当时，求的弦长. 【答案】（1）证明见解析；
（2）. 【解析】（1）设，联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理可证，从而可证. （2）利用弦长公式可求的长度. 【详解】（1）设，由可得即①，，由韦达定理可得：
，所以. （2）当时，（1）中的①可以化为：， . 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求证的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理化简目标代数式即可得要证明的结论.直线与圆锥曲线相交后得到的弦长可用弦长公式来计算. 21．已知,,若p是q的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】【解析】根据p是q的充分而不必要条件可得对应的集合是对应的集合的真子集，据此可求实数的取值范围. 【详解】不等式的解集为，因为，故不等式的解集为，依题意，且，故Ü，故且等号不同时成立，解得：, ∴正实数的取值范围是. 【点睛】（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含． 22．已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点的直线与该椭圆交于两点，满足直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】（1）；
（2）．【解析】试题分析：（1）先设出椭圆方程为，再根据条件离心率为及椭圆上的点，代入即可得到椭圆方程；
（2）先设出直线方程及，然后联立椭圆方程得到及．再由直线的斜率依次成等比数列得到，由得到．代入中及直线的斜率存在得到，且，然后由点到直线的距离公式及两点间距离公式得到面积．最后由基本不等式得到，从而得到面积的取值范围．试题解析：（1）由题意可设椭圆方程为，则（其中，），且，故．所以椭圆的方程为．（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0．故可设直线：，设，由，消去得，则，且，故，因为直线的斜率依次成等比数列，所以，即．又，所以，即．由于直线的斜率存在，且，得，且，设为点到直线的距离，则，，所以，故面积的取值范围为．【考点】1．椭圆的标准方程及几何性质；
2．直线与圆锥曲线的位置关系；
3．点到直线的距离公式；
4．基本不等式．